Küp Genişletme nedir? Çarpanlara Ayırma Formülleriyle İki Küpün Toplama ve Farkı

Küp açılımı, faktoringin en değerli kısımlarından biridir. Küp açılımı, binom açılımı ve Pascal üçgeni kullanılarak yapılır.

Öğrenciler tarafından sıklıkla karıştırılan iki küp toplam ve tam küp formülleri aslında birbirinden oldukça farklıdır. Yani a³ + b³’ün cebirsel açılımı ile (a + b)³’ün cebirsel açılımı birebir değildir.

Tam küp açılımı, binom açılımı kullanılarak yapılır. Binom açılımı, iki sayının toplamının üssünün cebirsel açılımıdır. Resimde görüldüğü gibi ifadenin (x + y) kuvvetlerinin binom açılımı yapılırken katsayılar Pascal üçgeninden elde edilmektedir.

Pascal üçgeni, binom katsayıları olan bir üçgen dizisidir. Birden fazla öğrenci için zor olan çarpanlara ayırmanın temelidir. Pascal üçgenini öğrendiğinizde küpü açmanın ne kadar kolay olduğunu anlayacaksınız.

Yukarıdaki görselde görüldüğü gibi 3. sıradaki katsayılar 2. sıradaki 1 rakamlarının toplamı ile oluşturulmuştur: 1, 2, 1

• Bu durumda 1+2=3 toplamı ile 4. sıradaki 1, 3, 3, 1 katsayıları elde edilir.

• 5. satır ise; 1 (1+3), (3+3), (3+1), 1 şeklindedir. Yine görselde görüldüğü gibi 5. satırdaki katsayılar: 1, 3, 6, 3, 1’dir.

Pascal üçgeninin satırlarında (x + y) ifadesinin katsayıları sıfırıncı kuvvetinden yer almaktadır. Aşağıdaki resimde görüldüğü gibi:

• Pascal üçgeninin birinci satırından (x+y) sıfırıncı kuvvetine, ikinci satırında (x+y) birinci kuvvetine; yani (x + y) = 1x + 1y = x + y açılım katsayıları elde edilir.

• Tam kareler toplamı (x + y)² kelimelerinin açılımında üçüncü adımdaki 1, 2, 1 katsayıları kullanılır.

• Dördüncü adımdaki 1, 3, 3, 1 katsayıları tam küp toplamının (x + y)³ açılımında kullanılır.

Artık tam küp (a + b)³ ifadesinin binom açılımını Pascal üçgeninden elde ettiğimiz katsayılarla yapabiliriz.

Tam Küp Genişletme:

• Toplam küp toplam:(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Tam küp toplamı: İki terimin toplamının küpüdür.

• Tam küp farkı:(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

Tam Küp Farkı: İki terimin farkının küpüdür.

İki Küpün Farkı ve Toplamı:

• İki küpün toplamı:a³ + b³ = (a + b).(a² – ab + b²)

• İki küpün farkı:a³ – b³ = ( a – b).(a² + ab + b²)

Tam Çerçeve Genişletme:

• Mükemmel kare toplamı:(a + b)² = a² + 2ab + b²

Tam kare toplamı: İki terimin toplamının karesidir.

• Mükemmel kare toplamı:(a – b)² = a² – 2ab + b²

Tam Kare Farkı: İki terimin farkının karesidir.

İki Karenin Farkı ve Toplamı:

• İki karenin toplamı:a² + b² = (a – b)² + 2ab = (a + b)² – 2ab

• İki kare farkı:a² – b² = ( a – b).(a + b)

• Üç terimin toplamının karesi:(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2.(ab + ac + bc)

• Burada üç terimin toplamını kullanın: a² + b² + c²= (a + b + c)² – 2.(ab + ac + bc)

• Üç terimin toplamının küpü:(a + b + c)³ = (a³ + b³ + c³) + 3.[(a + b + c).(ab + ac + bc) – abc]

Soru 1:x³ + 8 kelimesini çarpanlarına ayırın.

Çözüm:8, 2’nin küpü olduğu için x³ + 8’i x³ + 2³ olarak yazabiliriz.

x³ + 2³ = (x + 2).(x² – 2x + 4)Onu çarpanlarına ayıracağız.

soru 2: Deniz x³ – 27’yi çarpanlarına ayırmak istiyor. Buna göre Deniz ne bulmalı?

A) (x + 3).(x² – 3x + 9)

B) (x – 3).(x² – 3x + 6)

C) (x – 3).(x² + 3x + 9)

D) (x + 3).(x² – 6x – 9)

E) (x – 3).(3x² – 6x + 3)

Çözüm:Küpün ortasında x³ – 27 çarpanlarına ayırma formülleri iki küp farkıformülünü kullanmalıyız.

x³ – 27 = x³ – 3³

İki küpün farkı için formüle bakın: a³ – b³ = ( a – b).(a² + ab + b²)

Şimdi x³ – 3³’ü formüle edebiliriz. a³ – b³ = ( a – b).(a² + ab + b²) kullanıldığında: a= x, b = 3 ise çözüm Cseçenektir.

Soru 3:İki gerçek sayının toplamı 6 ve çarpımı 9’dur. İki gerçek sayının küplerinin toplamı kaçtır?

Çözüm: İki gerçek sayının x ve y olduğunu varsayalım. Şimdi problemin yeni versiyonu: x + y = 6, xy = 9 ise x³ + y³ =?

Tam küp formülünü hatırlayalım: (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³

= x³ + 3xy(x + y) + y³

(x + y)³ = x³ + 3xy(x + y) + y³ açılımında (x + y) yerine 6, xy yerine 9 koyalım: 6³ = x³ + 3.9.6 + y³

216 = x³ + 162 + y³

216 – 162 = x³ + y³

                                  54 = x³ + y³